初等函数的积分在何条件下仍为初等函数，也是他着重讨论的问题。
刘维尔涉足科学领域之际，由阿阿尔和C．雅可比(Jacobi)所建立的椭圆函数理论正处于蓬勃发展时期。
1844年12月，刘维尔在给巴黎科学院的一封信中说明了如何从雅可比的定理(单变量单值亚纯函数的周期个数不多于2，周期之比为非实数)出发，建立双周期椭圆函数的一套完整理论体系。
两位德国数学家C．W．博尔夏特(Bor－chardt)和F．约赫姆塔尔(Joachimsthal)向刘维尔详细请教了他的工作情况。
C．W．博尔夏特对刘维尔说：“听说，你最近在研究椭圆函数理论？”
刘维尔说：“肯定的，这是未来的大趋势。”
C．W．博尔夏特说：“一个椭圆函数，如何跟二维周期函数成为一回事的呢？”
F．约赫姆塔尔说：“我觉得这样的理论不靠谱。”
C．W．博尔夏特说：“心里觉得奇怪，我们虽然经历了这样的构造过程，但是还是觉得不可思议。难道数学以后就是要这样研究的吗？”
刘维尔说：“你们不仅仅要适应，还要把这种连续不断的变化变成常态才能更好的研究。”
C．W．博尔夏特说：“等一下，让我们再缕缕。是椭圆函数在复空间内，有一种圆环的形状。”
F．约赫姆塔尔说：“然后是二维空间中也找到了这样的结构？”
刘维尔说：“是的，这两者间有关联，所以当前我要把我所有的精力都耗在二维周期函数上。”
C．W．博尔夏特说：“你有什么发现吗？”
刘维尔像两个数学家展示了刘维尔四个定理。这是对椭圆函数论的一个较大贡献。围绕双周期性，刘维尔展示了椭圆函数的实质性质，如下：
刘维尔第1定理：在一个周期平行四边形内没有极点的椭圆函数是常数；
刘维尔第2定理：椭圆函数在任一周期平行四边形内的极点处残数之和为0；
刘维尔第3定理：n阶椭圆函数在一个周期平行四边形内取任一值n次；
刘维尔第4定理：在一周期平行四边形内零点之和与极点之和的差等于一个周期。
后来，到巴黎访问的，而1850—1851年刘维尔在法兰西学院讲授的双周期函数课程，也在C．A．布里奥(Briot)与J．C．布凯(Bou－quet)所著《双周期函数论》(Théorie des fonctions doublementpériodiques，1859)一书中得到系统介绍。因此，尽管刘维尔的有关结论很少发表，仍能在法国内外迅速传播并产生影响，双周期函数的讲义后来发表在1880年第88卷的德国《纯粹与应用数学杂志》上。
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