希尔伯特与他的学生P.贝尔奈斯开始讨论关于流形的问题。
希尔伯特说：“一般的流形都是三维的，就像我们研究的关于水一类的问题。”
贝尔奈斯说：“这是流体力学的范畴吧？”
希尔伯特说：“不是这样的，我想把这个东西推广都高维空间。”
贝尔奈斯知道自己的老师有些魔怔，动不动就跟高维空间杠上了，不管是什么样的数学模型，希尔伯特总喜欢往高维度空间推广。
毕竟没有前人的铺路，所以一些看法经常修修改改，比如高维空间的超四面体、正方体和圆形应该是怎样的，一开始错误的，总是不断的改，改的合理为止。
贝尔奈斯说：“想法是挺有意思的，但是根本没有高维空间，所以你的假设再合理了也没有用。”
希尔伯特没有说话，陷入沉思中，贝尔奈斯看到希尔伯特没说话，也不好意思了，接着问：“那你说说看，我们如何合理的引入高维流形。”
希尔伯特说：“我也正在思索，其实高维空间系统不代表一定就是超越长宽高的一种坐标空间，可以加入其它的量，这些其它的量才是一种真正的高维空间的量，我们到时候就是依据这样的方式研究一个系统。”
贝尔奈斯说：“我知道了，就是高维空间的坐标轴是长、宽、高、时间、动量、能量、甚至对应的不同方向的分量。这样倒是研究系统的时候变得方便了，可是本身高维空间就是复杂的，我们无法形象生动的看清楚其中的每一个变化，只能是是在这多个坐标轴里取其中三个形成一个我们能肉眼看见的坐标来研究我们想要的变化，剩下的变量都必须不能改变才行。”
希尔伯特点点头，认可贝尔奈斯说的那种只需要选其中三个坐标研究的方法。
贝尔奈斯说：“可是，我们直接组建就行吗，这样的系统到底是哪里看起来方便了？”
希尔伯特也不知道这是在干什么，他此刻需要提出一种规范的东西，或者是推广高维空间了，哪些东西可以继续使用的东西。
希尔伯特说：“首先第一点，那些不同变量的坐标轴必须是相互垂直的，是个正交关系。要是这个样子的话，我们就需要先去研究不同量变化的角度了。”
贝尔奈斯说：“带了角度的，要么是直线，或是曲线的切线，而且这些都有复杂的方向，需要使用复杂的向量来表示。”
希尔伯特说：“所以必须要使用向量，也就必须可以使用向量的法则，就是向量的长度和角度都必须存在，同时向量直接加法和乘法的运算必须要跟原来在二维和三维的时候要一样。”
这就是希尔伯特空间的内积性。
贝尔奈斯说：“没错，而且还需要有完备性。”
希尔伯特说：“如果要是有完备性，就需要是一种可以度量的空间。也就是他们的柯西序列是可以收敛在这种空间里的。”
贝尔奈斯说：“没错，这样就可以在高维空间里使用微积分了。”
希尔伯特说：“如果这样的话，在不同正交坐标系上的多项式都可以使用傅立叶变换来表示了。”
希尔伯特流形（Hilbert manifold）是模空间为希尔伯特空间的巴拿赫流形。
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